11-矩阵空间、秩一矩阵

矩阵空间

M为所有33矩阵(举个33例子)
他的子空间有什么呢?
1.对称矩阵
2.上三角矩阵
3.对角矩阵
这个空间的基向量一共有9个(把一个全是0的三乘三矩阵从第一行第一列开始写1,每个向量只有一个1…….)

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难以理解的一个地方:这是个怎么样的空间?(还有矩阵为什么可以作为向量?)
按照向量空间的定义,满足加法乘法封闭,包括了0向量......
尝试写几个矩阵进行加减和数乘运算,满足了以上条件(好吧我接受他是个子空间了)
但是这个空间是个什么样子呢......

1.对称矩阵的基有6个向量(S)
2.上三角矩阵的基有6个向量(U)
3.对角矩阵的基有3个向量(前两个的交集)
我怎么知道有几个呢,从M的九个基里找,如果加起来刚好是某个矩阵,就是基了。对,没错,就是矩阵加法。
S∩U=diagond 33
d(S∩U)=3
SUU不是一个子空间(并和加??? [^谷歌的答案] ),就像一条直线插在一个平面上(哪里不对……)
但是S+U是

S的任一元素,加上U的任意元素得到所有的3
3矩阵

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一开始想类比向量加向量和空间并空间,一条直线插在一个平面上的情况,前面说了是并了吧......但是空间相加是什么情况?

一条重要的等式:6+6=3+9(代表了什么都在上文了,这个和概率的交集那条真像……)

线性微分方程

d^2 y/d x^2 +y=0
这条方程的基是cos x和sin x(e^(ix),听说不讨论……)
y=c1cos x+c2 sin x
秩为2

秩一方程

A $$\begin{bmatrix}1 & 4 & 5\\ 2 & 8 & 10 \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix}1 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 4 & 5\end{bmatrix}$$

如上,可以写成一列乘一行的形式

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A=uv^T就是一列乘一行,u是列向量,v也是列向量,用v的转置表示一个行向量

有一个5*17的秩4矩阵,分解成4个秩一矩阵的组合(就是说,基有四个向量,我把每个基写成一个秩一矩阵,其他的线性组合就好了)
那么秩4空间的子集是一个子空间吗?就是说,两个秩4矩阵相加还是秩4矩阵吗?显然是不可能了(所以说哪里显然……)最多可以达到秩8,会不会变小?(本来都秩4了不可能变小了,就是说,已经有四个向量线性无关的话……)
Realy?
$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0&0\\ 0 & 1 & 0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 & 1 & 0&0\\ 1 & 0 & 0&0\\ 1&1&1&0\\ 1&1&0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 0&0\\ 1 & 1 & 0&0\\ 1&1&2&0\\ 1&1&0&2 \end{bmatrix}$$
正确性有待验证

求矩阵空间的四个基本子空间

0空间

R^4空间的每一个向量都有四个分量
v=[v1 v2 v3 v4](这是一列)
(假设各分量之和为0)的(所有向量)构成的集合
v1+v2+v3+v4=0
这些向量能否构成子空间?
取这样的一个向量乘6,分量之和还是0,v+w也还是0
Av=0 A=[1 1 1 1](行)(这就是0空间的向量)
求空间S就等价于求A的0空间

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分量是什么?我听到的是一个向量的每一个元素(每一个数字)(不太准确的描述)
谷歌一下......
定义4.1.1 数域F上n个数a1,a2,…,an 组成的有序数组α= ,称为一个(F上的)n维向量(有时也简称向量).数ai 叫α的第i个分量.常用小写的希腊字母α,β等表示一个向量.向量α也可以写成(a1,a2,…,an).这样写的向量称为行向量,定义中写的向量称为列向量.作为向量它们被认为是一样的.(来自123我就是哎你 )
看起来没理解错

A的列空间r=1;n-r=3(是零空间的秩),零空间的基就很好求了
具体的看这里
A的行空间是一维的,左零空间是零空间

小世界(六度理论)

什么是“图”
在一个平面上有几个点,这些点通过边链接起来,从一个点到另一个点有几个点的距离。
比如一个图有5个节点6条边,可以用一个5*6矩阵表示。
你和一个人的联系不会超过6个人。(你会发现,这个世界真小,这就是小世界)
点是网站,边是网络链接。

[^谷歌的答案]:在这篇 博客 找到了答案