10-四个基本子空间

四个基本子空间包括了:A的列空间和零空间,A转置的列空间(行空间)和零空间(左零空间)。
同时行线性相关等同于列线性相关。(如何联系列行空间)

列空间

假设有一个m*n的A矩阵
列空间是属于R^m的(一列有m个分量)
他的秩为r

零空间

属于R^n,显然解有n个分量。

秩为n-r

行空间

属于R^n就是转置的列空间
秩为r

左零空间(二等公民?)

属于R^m
秩为m-r

著名的基本子空间关系图

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显然同属R^n的两个子空间的秩的和为n,而R^m的为m.

理解空间

找到他们的基

行空间

例子 $$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5& 8 \end{bmatrix}$$
首先C(R)!=C(A)
行变化不会改变行空间但会改变列空间。
行空间的基是简化阶梯型的前r行,既行空间最佳的基。

左零空间

为了方便表达,说A^Ty=0
也就是说y^T
A=0

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高斯-若尔消元
EA=R(E是消元矩阵)
写成E[A I](A是m*n,I是m*m)->[R E]
EI=E EA=R
如果R=I
E=A^(-1)(这种情况A才可逆)

如何求左零空间的基
找一个能生成0行向量的组合(左乘一个消元矩阵)
R零行对应的消元矩阵的行就是基的向量。(这一行乘矩阵得到0)
$$\begin{bmatrix} -1 & 2 & 0\\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 2 & 3&1\\ 1 & 2 & 3&1 \\ 1 & 2& 3&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1&1\\ 0 & 1 & 1&0 \\ 0 & 0& 0&0 \end{bmatrix}$$
在这个例子里很容易看出来

New vector space

将矩阵看成向量,进行加减和数乘运算(不考虑矩阵乘法),得到一种新的空间